TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ
Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của nguyên hàm và bảng các nguyên hàm cơ bản trong SGK. Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số.
1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Nếu
,
, ...,
là các hàm có nguyên hàm cơ bản thì
có nguyên hàm tìm được nhờ tính chất :


Khi sử dụng tính chất này cần lưu ý cách viết :
;

Thí dụ 1 : Tìm các nguyên hàm
1.
; 2.

Giải :
1.

2.

2.Sử dụng vi phân để tìm nguyên hàm
Bảng nguyên hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay ký hiệu đối số x, bởi bất cứ ký hiệu nào khác. Kết hợp với phép tính vi phân, các bạn có thể tìm được nguyên hàm của các lớp hàm phong phú hơn.
Thí dụ 2 : Tìm nguyên hàm :
.
Giải :

Chú ý :



Thí dụ 3 : Tìm nguyên hàm :
1.
; 2.

Giải :
1.

2.
=


Thí dụ 4 : Tìm nguyên hàm
1.
; 2.

Giải :
1.

2.

Thí dụ 5 : Tìm nguyên hàm
.
Giải :

Đặt
( du =
và
Do đó :




3. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Các bạn sử dụng công thức
Như vậy để tìm
thì phải nhìn f(x)dx là udv. Giả sử f(x)dx =
với
là đa thức thì việc lựa chọn u, dv, hoàn toàn phụ thuộc vào
. Nếu
là các hàm lượng giác ngược, hàm logarit, hàm vô tỉ thì đặt
. Nếu
là các hàm lượng giác, hàm mũ thì đặt u =
. Tuy nhiên, đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và những tình huống phức tạp hơn các bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp.
Thí dụ 6 : Tìm nguyên hàm :
1.
2.

Giải :
1. Đặt
(
; dv = dx ( v = x (chú ý chiều mũi tên này, hiện nay đang bị viết ngược rất nhiều !). Ta có :
I =

Lưu ý :
(
, ta có


2. Đặt
(
; dv = xdx (
. Khi đó :


Lại đặt u = lnx (
; dv = xdx (
, ta có :


Vậy
.
Bài tập tương tự
Tìm các nguyên hàm của các hàm số :
1.
;
2.
;
3.

4. f(x) =
;
5.
.
6.
;
7.
.