CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
( Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì


( Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :

(?)
Lưu ý :
không xác định tại
nên I không tồn tại.
Thí dụ 1 : Tính
(Đề ĐH Ngoại ngữ HN - 1999)
Giải :




Thí dụ 2 : Tính
(Đề ĐH Ngoại thương HN - 1999)
Giải :



.
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ 3 : Tính

Giải :



2. Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì

Thí dụ 4 : Tính
(Đề Học viện KTQS - 1999)
Giải : Đặt
(
(
.
Đổi cận :
(
; x = 4 (
.
Do đó :


Thí dụ 5 : Tính
(Đề Học viện BCVT - 1999)
Giải : Đặt t = (x ( x = (t ( dx = (dt.
Đổi cận : x = (1 ( t = 1 ; x = 1 ( t = (1 ta có :

(
.
Chú ý : - Để tính
không nhất thiết phải tìm nguyên hàm F(x) của f(x).
- Cách tích phân dạng
với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên.
Thí dụ 6 : Tính

Giải : Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :


Suy ra : I = 0.
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ luôn bằng 0.
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :

= ...
Thí dụ 7 : Tính

Giải : Đổi biến số u =
. Ta có :

Mặt khác : dx = -du.




Do đó : I =
.
Chú ý : Nếu gặp tích phân
mà tính mãi không được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.
Thí dụ 8 : Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :


Giải : Ta có
(*)
Xét
, đặt u = x - T ( x = u + T ( dx = du.
Đổi cận : x = T ( u = 0 ; x = a + T ( u = a, do đó :

.
Thay vào (*) ta có đpcm.
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của hàm số tuần hoàn.
Thí dụ 9 : Tính

Giải : Chứng minh dễ dàng hàm số y =
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là
.Do đó :


3. Sử dụng công thức tích phân từng phần :
Ta có :

Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến :
Thí dụ 10 : Tính
(Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
Giải : Đặt
(
( dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 ( t = 0 ;
( t = ( nên :

=
.
Thí dụ 11 : Tính I =

Giải : Xét
. Đặt
.
Theo công thức tích phân từng phần ta có :


với mọi n nguyên và n >1.
Ta có :
.


Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho n = 2;3;4;5.
Bài tập :
1.

2.

3.
.dx
4.
;
5.
;
6.
;
7*.

8.

9.